Mesure d'homogénéité dans la dispersion des richesses

De Le modèle M3M
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Introduction

L’un des critères d’évaluation d’une société est le niveau de richesse moyen, que l’on souhaite bien entendu maximiser, pour autant que cette maximisation ne détériore pas d’autres objectifs de la société.

Mais un autre critère est l’homogénéité de la dispersion des richesses. Il faut considérer qu’un bon modèle de société implique une distribution relativement homogène des richesses. Du moins sont acceptables une distribution non homogène mais avec un niveau d'hétérogénéité stable dans le temps, ou encore une distribution évoluant vers un niveau minimal d’homogénéité.

Le problème est la mesure de cette homogénéité. C’est un problème technique, mathématique, qui peut recevoir de nombreuses solutions. Ce qui suit est une tentative de définition optimale.

[ Note 2009: depuis la rédaction de ces notes, il est apparu que des travaux convergeant avec celui-ci ont éré réalisés simultanément, notamment par Theil, tel que documenté et publié sous le nom Indice de Theil ]

Définition

Voici la formule de la MHDR (mesure d'homogénéité dans la dispersion des richesses) :

Dans cette formule :

  • N est le nombre de membres de la population analysée (ou, pour une mesure pratique, la taille d'un échantillon de cette population) ;
  • pi est la fraction des richesses détenues par le ième membre de la population analysée (ou, pour une mesure pratique, celle du ième membre de l'échantillon par rapport à la somme des richesses de l'échantillon) ;
  • log() est la fonction logarithme (dans n'importe quelle base, le résultat n'en dépend pas).

Dans l'expression ci-dessus, le numérateur et le dénominateur sont toujours négatifs. Le quotient qui donne le résultat est donc positif. Dans le cas idéal - et abstrait - d'une répartition parfaitement équitable des richesses, chacun des pi vaut 1/N, et la MHDR vaut 1. Dans tous les autres cas, la MHDR est inférieur à 1.

Origine et propriétés

La formule utilisée est dérivée de la théorie de l'information, et en particulier du concept d'entropie informative de Claude Shannon.

Intuitivement, il s'agit d'une mesure d'incertitude. Considérons une parcelle de richesse au hasard, et posons la question: "A qui appartient-elle ?". S'il n'y a aucune incertitude, c'est que nous somme sûrs que cette parcelle de richesse appartient à un détenteur global et unique, et nous sommes dans une situation de dispersion nulle. Si l'incertitude est faible, c'est que peu de détenteurs se partagent la probabilité de détenir cette parcelle. Enfin, l'incertitude set maximale lorsque tous les détenteurs possible ont une chance égale de détenir cette parcelle de richesse, donc lorsque tous les détenteurs ont des richesses égales.

La formule possède notamment les propriétés suivantes, faciles à démontrer et à interpréter:

MHDR(p1,p2,p3,...pN)=1                                (1)

MHDR(...)<=1                                        (2)

MHDR(p1,p2)=MHDR(p2,p1)                  (3)          

MHDR(...pm,pn,...)=MHDR(...pn,pm,...)    (3b)      

T(m,n)=T(m,n,m,n)                                (4)

Ces formules absconses a première vue peuvent trouver une interprétation très simple:

  1. La MHDR vaut 1 lorsque toutes les richesses comparées sont égales. Ceci est vrai indépendamment du nombre d'observations.
  2. La valeur maximale de la MHDR est 1. Il n'est observé que lorsque toutes les observations sont égales. Dès qu'il y a une inégalité, la MHDR descend sous la valeur 1
  3. L'ordre des observations n'a aucune influence sur le résultat du calcul de la MHD. Interchanger deux détenteurs ou leurs richesses ne modifie pas la mesure.
  4. Si l'on juxtapose a l'ensemble des observations initiales, un autre ensemble d'observations de même nombre et égales, le résultat mesure de la MHDR n'est pas modifie.

Utilité

Quelle pourrait être l'application d'une telle formule? Si l'on accepte comme postulat que l'une des qualités attendue d'une démocratie est la mise en place et le contrôle d'un système économique optimisant les richesses de ses citoyens mais limitant leur disparité, alors la MHDR pourrait être utilisé comme mesure objective des effets de ce système.

La mesure et la publication annuelle de cet indice permettrait d'apprécier et d'objectiver la justesse de la phrase trop souvent entendue à propos des dictatures ou des oligarchies, telles que par exemple: ...les riches s'enrichissent et les pauvres s'appauvrissent... 95% des richesses sont au mains de 5% de la population... etc... A quel point est-ce vrai ?

L'octroi d'aides par les organismes économiques internationaux devrait également s'appuyer sur de tels indices pour évaluer l'impact de leur intervention lorsque se pose la simple question: l'aide atteint-elle les couches visées?

Mesure

Des questions concrètes se posent aussi. Comment évaluer le MHDR pour les populations réelles, souvent difficile á cadrer par des chiffres? En particulier, comment chiffrer la richesse d'un individu ou d'une couche de population? Comment accéder à l'information confidentielle que constitue la richesse des plus nantis?

Face à ces questions, une procédure pragmatique doit être définie et appliquée. Le caractère imparfait de cette procédure ne peut masquer la validité du but atteint, et en pratique elle ne peut en altérer significativement la mesure. Il semble a priori que les valeurs mesurées du MHDR devraient confirmer des classifications reconnues en matière de tiers-monde ou de coloration économico-politique dans la sociételle.

Trois solutions pratiques sont envisageables pour établir une MHDR:

  • Un cadastre exhaustif des richesses. Ceci demande une transparence totale, et des mesures dissuasives envers toutes formes de dissimulation.
  • Une technique d'échantillonnage. Ceci est applicable de préférence à une population très vaste et relativement homogène. La présence ou l'absence de représentation correcte des fortunes majeures peut significativement biaiser la mesure obtenue.
  • L'application du calcul sur base d'une distribution théorique des richesses. Dans ce cas c'est l'établissement de cette distribution théorique qui devient délicate. Dans ce cas on divise la population en diverses tranches de détenteurs en fonction des richesses supposées détenues. Pour être précis, il faut aussi tenir compte des effets d'une distribution à l'intérieur de chaque tranche.

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