Gauss, golf et ellipsoïdes d'incertitudes

De Lillois Fractale Wiki
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Introduction

Les travaux de Carl Friedrich Gauss et en particulier le concept de distribution normale sont parmi les plus féconds et les plus omniprésents dans notre environnement, car ils reflètent de la manière la plus usuelle l'intervention du hasard ou de l'incertitude dans notre vie.

Peut on trouver de la beauté dans ces abstractions mathématiques, dans ces géométries porteuses de sens ? J'avoue être de ceux qui admirent l'élégance des concepts formels, et celle-ci est parmi mes préférées. Math et golf

Il y a beaucoup d'interférences mathématiques dans le golf.

  1. Les systèmes de scores imaginés par les golfeurs sont ingénieux, mais d'une vaine complexité qu'un mathématicien apprécie peu. [nota :pour ma part j'ai mis au point et j'utilise la méthode floue des QHE [quick handicap estimator], qui est à la fois plus souple à utiliser et plus rigoureuse].
  2. La trajectoire des balles obéit aux règles habituelles de balistique. On y trouve des paraboles, mais affectées par de nombreux facteurs volontaires et involontaires. Il y a d'abord les effets de frotement de l'air qui déforme à l'évidence la parabole gravitationnelle théorique. Il y a aussi le vent, la pluie et la température. Il y a encore les effets subtils dus à la rotation de la balle, involontaires pour la plupart des golfeurs, objet de leur habileté pour les meilleurs d'entre eux.
  3. L'incertitude sur le point d'impact et le point d'arrêt de la balle frappée est une mesure inverse de l'habileté du golfeur. C'est ici qu'interviennent Gauss et sa distribution normale, et c'est l'objet de la suite.

L'incertitude sur le point d'impact

Prenez un fer sept (par exemple), et tapez un très grand nombre de balles identiques, puis observez leur points d'arrêt au sol. Si vous étiez un golfeur parfait, c'est à dire pratiquant un mouvement parfaitement répété et identique à chaque frappe, toutes les balles se retrouveraient exactement au même endroit, aux effets minimes près du vent, de la poussière sur le club et la balle, etc...

Mais vous êtes imparfaits, et tous les joueurs de golf, même les meilleurs sont imparfaits. Vos balles arrivées au sol forment un amas distribué autour de la cible. Elles sont trop longues ou trop courtes, trop à gauche ou trop à droite. Mais quelle est la distribution de densité des balles au sol ? Il faut imaginer ceci pour un nombre considérable de balles.

La réponse est grosso modo une distribution normale bi-variée - une distribution quasi gaussienne. Elle est bi-variée parace qu'elle s'étend sur deux dimensions. Il y a un centre, qui correspond par exemple à un drapeau ciblé. De manière générale, notre normale bi-variée présente la forme d'un chapeau, dont le sommet est le centre, présentant un bel arrondi autour du centre, et une périphérie tendant vers l'horizontale. Le dessin ci-dessous donne une idée de cette distribution.

En chaque point du sol, la hauteur du chapeau reflète la densité de probabilité de présence de balles. Bien entendu le chapeau de Tiger (TW, archétype du bon joueur) est bien plus étroit et plus pointu que le vôtre et surtout que le mien. mais l'ensemble du volume caché sous le chapeau est toujours égaé à 1, parce que la probabilité globale que la balle retombe "quelque part" est bien égale à 1 (en termes matheux: l'intégrale sur la surface de la fonction de densité de probabilité est toujours égale à l'unité).

On peut se poser des questions proches, et plus instructives. Par exemple: "Quelle est la limite de la surface du terrain ou tombe la balle avec une probabilité de 90% ?". On peut poser la même question avec 50% ou 99%. Si on ajoute comme conditions que cette surface doit limiter une zone présentant un minimum de densité de probabilité, alors on obtient des ellipses. Ce sont ces ellipses que j'appelle "ellipsoïdes d'incertitude" - EI.

Reprenant la représentation du chapeau, les EI-99%, EI-90% et EI-50% peuvent être imaginées comme des coupes horizontales dans le chapeau. Et le volume qui est déterminé comme interne à ces ellipsoïdes (les frontières étant verticales) est de 0.99 0.90 et 0.50, pour respectivement les trois ellipsoïdes pris comme exemple.

Votre ellipsoïde d'incertitude à 99% est vaste, bien plus grand que votre EI à 90%, qui est plus grand que celui à 50%. Par ailleur l'EI-90% de TW est probablement plus petite que la vôtre. On pourrait par exemple supposer que l'EI-99% de TW a la même taille que votre EI-90%, Ce qui signifierait que dans le périmètre où vous êtes capables de déposer 90% de vos balles, TW est capable de déposer 99% des siennes.

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Imperfections

En réalité le nom ellipsoïde doit être utilisé au lieu d'ellipse pour de multiples raisons. L'ellipsoïde ressemble à un ellipse, mais dans le cas de la densité de probabilités des balles de golf frappées, il s'en écarte pour plusieurs raisons.

  • D'abord la partie distale (loin du joueur) s'étire plus que la partie proximale, et différemment. Ceci peut être attribué, au moins en partie, aux effets de topping plus ou moins prononcés. Ceci est en partie et imparfaitement compensé par les effets de frottement ralentissant les balles longues.
  • En suite, la dispersion latérale est une dispersion angulaire, et non une dispersion de distance. Il s'ensuit que l'incertitude latérale est plus étendue pour les coups trop longs que pour les coups trop courts.
  • Enfin, se superposant à l'effet précédent, les effets d'un trajectoire tournante - volontaire ou involontaire - se traduisent également par une incertitude latérale amplifiée pour les coups en fonction de leur longueur, et plus que proportionnellement à celle-ci.

Pour toutes ces raisons, l'EI est une ellipse déformée, comme l'indique le dessin ci-dessous.

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Application tactique

Bien entendu, tout ce qui précède peut paraître inutilement abstrait. Les bons joueurs de golf n'ont pas besoin d'avoir un diplôme de mathématiques avancées pour jouer infiniment mieux que vous et moi.

Cependant, il faut souligner qu'un bon joueur de golf résout avec son instinct des problèmes mathématiques très raffinés, et que des mathématiciens traitent dans d'autres domaines régulièrement:

Lorsqu'un coup de putter est joué, tout joueur de golf traite implicitement une équations aux dérivées partielles : celle qui détermine la trajectoire d'un objet roulant sur un surface plus ou moins roulante en chaque point, et pourvue en chaque point de pentes d'orientations diverses. Un bon mathématicien et un bon ordinateur bien programmé pourraient recevoir toues ces données et déterminer une trajectoire "parfaite", une direction et une vitesse d'impact optimaux, et le coup résultant serait certainement excellent. Mais un bon golfeur traite toutes ces données avec ses sens de manière terriblement efficace également. Il se sert surtout de la vue et de l'équilibre, qui lui permet de décoder les pentes grâces aux entrées combinées de ses oreilles et de ses yeux. Il se sert aussi de son expérince, qui lui permet du décoder de manière plus précise les données du problème. Le résultat est impressionnant, mais le problème dans sa nature est bien matheux.

De même lorsqu'un bon joueur envoie une longue balle dans l'air, il résout un problème complexe de balistique, où interviennent la température, le vent, et pour certians des effets intentionnels transmis à la balle lors de l'impact. Un chien est capable d'attraper au vol une balle, et donc de prédire avec une précision payante une trajectoire parabolique. Le bon golfeur traite de la même manière un problème plus complexe. mais dans un cas comme dans l'autre, ce sont les sens développés du chien et du golfeur, combinés à leur expérience, qui permettront de résoudre de problème matheux.

Mais le problème le plus intéressant est celui dont l'énoncé serait : "Étant donné la taille de mon ellipsoïde d'incertitude, quel point dois-je viser ?" Sur quel point faut-il centrer l'ellipsoïde d'incertitude. D'abord il faut prendre en compte divers facteurs:

  • le décalage entre point d'impact et point d'arrêt de la balle, la manière dont la balle est susceptible de rouler.
  • la présence d'obstacles (bunkers et obstacles d'eau)
  • les pentes du terrain

Voici différents cas où l'on imagine qu'un bon et un moyen joueur veulent centrer leurs EIs respectifs. Comme on le voit, la réponse est différente. Elle peut même être très différente.

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Conclusion

Lorsque je joue au golf, que je le veuille ou non, je matérialise visuellement les proportions de mon EI. Ensuite, je m'efforce de contrer au mieux l'EI, en tenant compte de facteurs tactiques, et en particulier du niveau de risque toléré ou demandé. Ensuite seulement, j'estime une direction et une distance, et je prépare mon coup. A vrai dire je ne saurais penser autrement... Qu'en pensez-vous ?



Présentation possible (rem: à nettoyer et structurer)

Intro – how I am Intro – what you can expect Tautologie & math Le golf et d’autres jeux a.Jeux à information complète b.Jeux à information cachée (par les autres joueurs) c.Jeux à information cachée (par l’incertitude)

a.Jeux d’opposition b.Jeux (multi-solitaire) Le golf est un jeu ou l’on maximise une composante déterministe et ou l’on minimise une composante aléatoire. En cela il se rapproche du tennis et de la pétanque, mais aussi des jeux de rôles, de la bourse, du plan de carrière. Dans tous ces jeux, il ya une composante déterministe (que l’on maximise) et une composante aléatoire (que l’on minimise). Concrètement : Une technique : le swing Un objectif : un point cible Un résultat : un point atteint Le point atteint est égal (d’un point de vue vectoriel) au point cible + une composante d’imprécision (ou de maladresse) aléatoire. Le point cible est une variable choisie. Le point atteint est une variable aléatoire. Comment caractériser une variable aléatoire ? Par sa distribution. Exemple : la T° dans une semaine exactement ici même : une variable gaussienne (à une dimension). La distribution du point atteint, c’est une variable gaussienne (à deux dimensions, dans un plan). Pour imaginer cette distribution gaussienne, imaginez la situation suivante : conditions simple et standards. Terrain plat, pas de vent, température normale, balles normales,… drapeau cible-impact à 125m (par exemple),… Vous choisissez votre club et vous tapez un grand nombre de balle. Il ya des erreurs latérales et des erreurs longitudinales (de distance). Si l’on observe un (très) grand nombre de point d’impact, on constatera une distribution sur la surface de réception qui devrait ressembler à ceci : […] Ellipsoïde d’incertitude. Supposons que la distribution soit parfaitement gaussienne (verrons plus loin que faux). Dans ce cas la fonction de densité prend la forme d’un chapeau. On peut imaginer des tranches horizontales dans ce chapeau. La tranche du chapeau détermine un cercle (ou plutôt une ellipse). A l’intérieur de cette ellipse, la densité de prob est toujours plus élevée qu’à l’extérieur. On peut définir différentes tranches (à différentes hauteurs). Pour une tranche venant d’une coupe élevée, la probabilité que l’impact soit à l’intérieur est faible. Pour une tranche venant d’une coupe haute, la probabilité que l’impact soit à l’intérieur est forte. Les différentes tranches déterminent donc différentes probabilités. Vues « de haut », ces tranches sont déterminées par des quasi-ellipses, qui peuvent être appelées « ellipsoïdes d’incertitude ». Les ellipsoïdes de petites probabilités sont plus petits que les ellipsoïdes de grande probabilité, comme le montre […] : Dans la suite, il sera question par exemple d’ « ellipsoïde à 90% » pour définir un ellipsoïde délimitant une tranche à l’intérieur de laquelle la probabilité est de 90%.


Précisions : Point d’impact versus point d’arrêt. Tout ce qui suit est vrai pour les deux. Pas tout à fait une distribution gaussienne. Parce que l’erreur latérale est angulaire, et donc augmente avec la distance. Pas tout à fait une distribution gaussienne. Les erreurs (de distance) courtes vont jusqu’à 100% d’erreur, les erreurs longues ont peu de chance d’atteindre 100% pour les clubs longs. Pas tout à fait une distribution gaussienne. Les erreurs latérales sont asymétriques. Un droitier qui a un défaut de slice, risque fort d’avoir une distribution plus étalée à droite qu’à gauche. Malgré cela on peut considérer dans ce qui suit cette distribution comme une normale (gaussienne) à deux dimensions, et les conclusions suivantes sont vraies quoiqu’il arrive. Considérons une situation simple. Terrain plat, pas de vent, température normale, balles normales,… drapeau cible à 125m (par exemple),… Appelons percentile latérale. La variance (obtenue par TW est plus petite que la mienne. (intermédiaires). Les joueurs de golf s’efforcent toujours de réduire la taille de leurs ellipsoïdes d’incertitudes. La variance latérale est plus importante pour certains joueurs (par exemple ceux qui slicent) Les erreurs d’impact (top et gratte) accroissent la variance longitudinale.

EI d’impact et vent. Le vent devrait être pris en compte par le joueur non pas pour choisir le centre de son EI, mais pour orienter le coup qui lui permettra de diriger sa balle vers le centre de son EI. EI d’impact et d’arrêt La géométrie du terrain implique des déformations des EI.

Voici quelques situations :

Green en montée Green en pente Green avec pente latérale Présence d’un bunker Présence d’un obstacle d’eau ou d’un hors limite Configuration en vallée Configuration en crête Etc… Utilisation des ellipsoïdes d’incertitude. A chaque coup, un joueur procède en deux étapes. D’abord il choisit le centre de son EI, ensuite il frappe un coup qui va l’amener plus ou moins près de ce centre, suivant son habileté, sa chance, sa réussite. Il me parait crucial – quel que soit le niveau d’un joueur – de bien maîtriser la gestion de son EI. Tout le monde le fait intuitivement, mais manipuler des concepts objectifs tels que l’EI permet de dialoguer entre coéquipiers, entre prof et élève, ou simplement à l’intérieur de soi. Une erreur courrante est de mal gérer son EI, et en sosu-estimant la surface. Ceci mène à des choix tactique maladroits. Exemple : je joue avec John et Michael (tous les deux ont hcp 6). Avec un peu de réussite (et un départ jaune), je me retrouve, comme eux, à 75m du drapeau (Américain, 2). Ils jouent avant moi. OÛ centrent-ils leurs EI ? Voir figure. Et moi ? voir figure.



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