MLRS

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Intro

Ceci est un problème de mathématiques à l'intention de mes camarades du cercle d'échecs "Le Pion du Roi", à Nivelles, et destiné à leur offrir une distraction enrichissante pour les vacances de Noël 2017.

MLRS signifies "Maximum Likelihood Rating System", à traduire par "Système de Classement à Vraisemblance Maximale" (SCVM).

Bon amusement - à ceux que ceci amuserait !

[ Ceux qui penseraient que ceci est écrit pour contester les résultats obtenus cette année se trompent: j'applaudis sans réserve la victoire plus que probable de Samuel et/ou de Peter. :-) ]

Problème

Le problème consiste à établir un classement de joueurs (disons de joueurs d'échecs mais ce n'est pas important) selon leurs résultats.

Plus précisément:

N joueurs (appelons les Jj , 0j<N-1) s'affrontent aux cours de M matchs à deux dont le résultat est soit la victoire de l'un d'eux, soit une nullité.
Et la question est "Comment attribuer un classement à ces joueurs?"

Ou encore plus précisément, comment attribuer la classement "le plus vraisemblable" à ces joueurs?

Compléments

Classement. Il s'agit d'une valeur numérique relative (une grandeur scalaire),

Nombre de matches. Quelques précisions sont utiles. Chaque joueur joue au moins un match, et au plus N-1 matchs, n'affrontant qu'au plus une fois chaque autre joueur.

Algorithme. La solution peut être analytique, mais plus probablement elle devrait être algorithmique (itérative).

Finesse. La solution doit être plus fine que celle qui consisterait à se baser uniquement sur le score global obtenu. Ainsi, par exemple, un joueur qui perd sa seule partie contre un adversaire classé fort devrait être mieux classé que celui qui perd sa seule partie contre un jouer classé faible (paradoxal mais démontrable).

Distribution des classements obtenus. Il faut faire une hypothèse sur cette distribution, faute de quoi il y a un risque d'instabilité numérique, par exemple pour les joueurs n'ayant qu'un seul match. Donc on peut si nécessaire imposer (au choix) une distribution normale ou une distribution uniforme bornée.

Séquence. Il n'y pas d'effet de séquence. Les matchs ne sont ni ordonnés dans le temps ni groupés d'une quelconque manière.

Assiduité. Le problème n'implique pas (mais permet) d'inclure une forme de prime à l'assiduité. Si elle est introduite, elle doit être linéaire. Un coefficient d'assiduité peut être introduit comme paramètre dans l'algorithme.

Préclassement. Aucun classement préalable aux matchs n'est pris en compte. Seuls comptent les résultats.

Test

Il serait amusant de tester toute solution proposée, en utilisant les données du tournoi PDR 2017, et de comparer les résultats obtenus avec ceux de la méthode (de qualité limitée et un peu artisanale selon certains) classiquement utilisée dans ce type de compétition.

Pour cela, il suffirait d'avoir deux tables, (1) une liste indexée des joueurs et (2) une table des résultats {(index1,index2,résultat)} (résultat étant 1, 2, ou =).


Applications

Ce MLRS peut être appliqué aux échecs, mais aussi à d'autres disciplines, telles que par exemple le football.

Contact

Si des précisions sont utiles: philippe.gonze@gmail.com