Gyerg cylindre
Objectifs
La forme et la composition des cylindres Gyerg doivent obéir à divers objectifs:
- Il faut que le cylindre emmagasine une grosse quantité d'énergie sous forme d'énergie cinétique de rotation.
- Il faut que le cylindre puisse être porté par sustentation électro-magnétique.
- Il faut que le cylindre résiste mécaniquement à une vitesse de rotation aussi élevée que possible
Matériau
Les caractéristiques intervenant dans le choix du matériau principal du cylindre sont techniques:
- homogénéité et isotropie
- la densité (masse volumique) ρ
- la résistance à la rupture en traction (σmax)
- la résistance à la déformation (Y, module de Young)
- la conductivité électro-magnétique (?)
- le coefficient de dilatation thermique (? pour autant que le cylindre chauffe lors de son fonctionnement ?)
... mais aussi des facteurs économiques:
- coût des matières premières
- coût de construction (finition précise)
- coût d'acheminement
- durée de vie
Le premier choix serait l'acier, mais diverses alternatives et combinaisons sont à envisager.
Un exemple de combinaison à explorer est l'utilisation de béton emballé (frettage) dans de l'acier (un exemple intéressant ici).
Forme
La forme de l'objet doit être un solide de révolution.
Il pourrait s'agir:
- d'un cylindre plein (avec un rayon important par rapport à sa hauteur)
- d'un cylindre creux
- d'un tore à section rectangulaire (c'est un autre nom pour un cylindre creux)
- d'un tore à section circulaire
- d'une sphère
- de formes ressemblant à diverses toupies
- etc...
Dans un premier temps, la solution générale retenue est celle du cylindre creux, puisque les autres formes en sont des approximations ou des cas particuliers.
Formules
Le cylindre creux est, pour ce qui concerne sa géométrie, caractérisé par:
- une hauteur (ou longueur) H
- un rayon maximal Rayon = Rmax
- un rayon minimal Rmin = Rayon - épaisseur (qui peut être nul, et le cylindre est alors plein)
Le volume du cylindre est donné par
- V = π H (Rmax2 - Rmin2)
La masse M du cylindre est donnée par
- M = V ρ
Le moment d'inertie est donné par
- I = π ρ H (Rmax4 - Rmin4 ) / 2 = M (Rmax2 + Rmin2) / 2
Pour une vitesse angulaire ω , l'énergie cinétique de rotation est donnée par
- Ecin = I ω2 / 2 = M ω2 (Rmax2 + Rmin2) / 4
La surface d'appui (base du cylindre) est donnée par
- Sappui = π (Rmax2 - Rmin2)
La pression à la base du cylindre est donnée par
- Pappui = M / Sappui = ρ H
La limite de rupture centrifuge est donnée par (voir paragraphe plus bas):
- ωrupt = sqrt (2 σmax / ρ) / R
Les déformations (écartement) dues aux forces centrifuges ... ??? ...
Rupture centrifuge
(essai d'analyse imparfaite par PG, faute de réponses complètes en ligne)
L'accélération centrifuge est donnée par
- a = ω2 R
On considère un petit élément sectoriel du cylindre, caractérisé par une hauteur dh, une dimension périphérique R da (da est un petit angle, en radian), et en particulier la partie de cet élément allant d'un rayon intermédiaire Rx jusqu'à la périphérie R.
On considère également la 'force' centrifuge exercée sur ce petit élément sectoriel.
La 'force' centrifuge s'exerce sur la petite surface dS = Rx da dh
Le volume et la masse du petit élément sectoriel sont donnés par
- dV = (R2 - R2x) da dh / 2
- dM = ρ (R2 - R2x) da dh / 2
Force = masse x accélération, et en ce point l'accélération vaut ω2 Rx donc la force f vaut
- f = ω2 Rx ρ (R2 - R2x) da dh / 2
et la tension T vaut
- T = f / dS = ω2 Rx ρ (R2 - R2x) da dh / 2 Rx da dh = ω2 ρ (R2 - R2x) / 2
If faut que T < σmax, et donc on en déduit ωrupt selon
- ωrupt2 = 2 σmax / ( ρ (R2 - R2x))
Si ce qui précède est correct la rupture est sollicitée surtout au centre du cylindre (Rx tend vers 0) et la vitesse de rotation maximale serait
- ωrupt = sqrt (2 σmax / ρ) / R
Guidage
Le cylindre est susceptible d'être déformé (dilatation, température, effets mécaniques) et d'être dévié (perturbations dues aux imperfections géométriques et cinétiques).
La base du cylindre doit, outre la sustentation, permettre le guidage du cylindre.
De ce fait, cette base devrait inclure des formes contraignantes, par exemple des rails. la forme de ces rails doit permettre à son tour une certaine tolérance de déplacement et déformation du cylindre.
Le guidage peut être complété par des éléments d'appuis électro-magnétiques ad hoc à la base et au sommet de son axe.