Marins et noix de coco

De Lillois Fractale Wiki
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Enoncé

Un bateau portant 5 marins fait naufrage. Les 5 marins se retrouvent sur une île dont le seul habitant est un singe. Ils ne trouvent à manger que des noix de coco, dont ils font un grand tas. Ils sont prêts à se partager le tas en 5 parts égales, mais il est tard, et ils préfèrent se coucher.

Durant la nuit, un marin se lève, compte les noix et s'aperçoit que la quantité n'est pas divisible par 5: il y a une noix en excès. Le marin donne la noix excédentaire au singe (qui la cache), prend le 5ème du tas, le cache sous son - grand - oreiller, et sans un mot pour ses compagnons se rendort.

Plus tard dans la nuit, chacun des autres marins fait exactement la même chose que le premier. Chacun ignore que les autres se sont comportés comme lui.

Au matin les marins se partagent hypocritement les noix restantes, et le compte tombe juste: il y a 5 parts égales.

Combien y avait-il de noix sur l'île ?

Variante

Non pas 5 marins, mais 3, ou 4, ou 7, ou M...

Solution

Ici le raisonnement est fait explicitement pour M marins. Soit K0 la valeur initiale. Soit K1 la valeur après passage du premier marin. ... Soit Ki la valeur après passage du ième marin.

L'équation générale rcurrente est

Ki = ((M-1)/M) (Ki-1 - 1)

On remarque d'abord que (1-M) (grandeur négative, mais les mathématiciens ne se soucient pas trop de cela) est une valeur intéressante pour K0. Dans ce cas en effet, tous les Ki sont égaux à K0. En d'autres termes la valeur (1-M) est un point fixe pour l'opérateur

f(x)=((M-1)/M) (x - 1)

Deux point fixes de cet opérateur diffèrent par  n . MM   , n étant un entier quelconque (à prouver.. fastoche).

Donc la solution générale (hormis la condition du matin) est

K0 = n. MM+1-M

Pour M=5, la première solution positive (n=1) est donc:

K0 = 55+1-5 = 3121

Et in s'ensuit que

K= 45+1-5 = 1020

On constate comme une heureuse surprise que cette première solution satisfait aussi la condition du matin.

Par conséquent, 3121 est une solution acceptable à l'énoncé.